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Fig. 1   Degradación hasta alcanzar el basamento rocoso, aguas abajo de una represa de retención de sedimentos, Aguaje de la Tuna, Tijuana, Baja California, México, enero de 1993.


LA RELACIÓN DE LANE MODIFICADA

Víctor Miguel Ponce

Profesor de Ingeniería Civil y Ambiental

Universidad Estatal de San Diego

San Diego, California, EE.UU.

[110821]



INTRODUCCIÓN

En este trabajo se modifica la relación de Lane (Lane, 1955):

Qs ds Qw So  (1)

en la cual Qs = descarga sólida; Qw = descarga líquida; ds = tamaño medio de las partículas; y So = pendiente del fondo de la corriente.

La nueva relación se expresa como una ecuación adimensional, mediante el reemplazo del tamaño medio de las partículas (ds) por la rugosidad relativa (ds/R)1/3 y la conversión de Qw a unidades de fuerza. La derivación de la nueva relación se detalla a continuación.



LA FUNCIÓN DE FRICCIÓN

La ley de fricción cuadrática, en la cual está basada la ecuación de Chezy, es (Ponce and Simons, 1977):

τo = ρ f v2 (2)

en la cual τo = esfuerzo cortante debido a la fricción de fondo; ρ = densidad del agua; f = coeficiente adimensional de fricción, es cual es igual a 1/8 del coeficiente de Darcy-Weisbach; y v = velocidad media de la corriente.

De otro lado, el esfuerzo cortante, en términos de variables hidráulicas, es (Chow, 1959):

τo = γ R So (3)

en el cual γ = peso unitario del agua; y R = radio medio hidráulico.

Combinando las ecuaciones 2 y 3:

So = f v2 / (gR) (4)

El número de Froude es (Chow, 1959):

F = v / (gD)1/2 (5)

en el cual D = tirante hidráulico, D = A/T, en el cual A = área de flujo; y T = ancho de la superficie libre.

Combinando las ecuaciones 4 and 5:

So = f (D/R) F2 (6)

En el caso de un canal hidráulicamente ancho: D ≅ R.

Por lo tanto:

So = f F2 (7)

Esta última ecuación establece la proporcionalidad de la fuerza de gravedad (So) con la fuerza de fricción (f).



LA FUNCIÓN DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS

Una función general de transporte de sedimentos es la siguiente (Ponce, 1988):

qs = ρ k1 vm (8)

en el cual qs = descarga sólida, por unidad de ancho; ρ = densidad del agua; k1 = coeficiente; y m = exponente.

De acuerdo a Colby (1964), el exponente m varía en el rango 3 ≤ m ≤ 7. Los valores menores corresponden a descargas altas y los valores mayores a descargas bajas.

Asúmase que m = 3 como primera aproximación (valores altos de descarga líquida y sólida). En este caso, la función de transporte de sedimentos es:

qs = ρ k1 v3 (9)

en la cual k1 es un coeficiente adimensional.

La descarga líquida por unidad de ancho es:

q = v d (10)

La concentración de sedimentos es:

Cs = qs/(γq) (11)

Combinando las ecuaciones 9 and 11:

Cs = k1 v2/(gd) (12)

En un canal hidráulicamente ancho, d ≅ D. Combinando las ecuaciones 5 y 12, la concentración de sedimentos es:

Cs = k1 F2 (13)

Combinando las ecuaciones 7 y 13:

Cs = k1 (So/ f) (14)

La relación entre el coeficiente de fricción f y el coeficiente n de rugosidad de Manning, en unidades SI, es (Chow, 1959):

f = g n2 / R1/3 (15)

En unidades U.S.:

f = g n2 / (1.4862 R1/3) (16)

Por lo tanto, en general:

f = k2 n2 / R1/3 (17)

En unidades SI:

k2 = g = 9.81 (18)

En unidades U.S.:

k2 = g /1.4862 = 32.17 / 2.208 = 14.568 (19)



LA RELACIÓN DE STRICKLER

La relación de Strickler entre el coeficiente n de rugosidad de Manning y el tamaño medio de la partícula d50 es (Chow, 1959):

n = k3 d501/6 (20)

En unidades SI:

k3 = 0.04169 (21)

con d50 en metros.

En unidades U.S.:

k3 = 0.0342 (22)

con d50 en pies.

Asúmase que ds = d50:

n = k3 ds1/6 (23)

n2 = k32 ds1/3 (24)

Combinando las ecuaciones 17 y 24:

f = k2 k32 (ds/R)1/3 (25)



LA CONCENTRACIÓN DE SEDIMENTOS

Substituyendo la ecuación 25 en la ecuación 14:

Cs = k1 So/[k2 k32 (ds/R)1/3] (26)

Por lo tanto, la concentración de sedimentos es:

Cs = [k1/(k2 k32)] [So/(ds/R)1/3] (27)

Luego:

Qs/(γQw) = [k1/(k2 k32)] [So/(ds/R)1/3] (28)

y:

Qs (ds/R)1/3 = [k1/(k2 k32)] γ Qw So (29)



LA RELACIÓN DE LANE MODIFICADA

De acuerdo a la ecuación 29, la relación de Lane modificada es:

Qs (ds/R)1/3 γ Qw So (30)

La ecuación de transporte de sedimentos es:

Qs = [k1/(k2 k32)] γ Qw So (R/ds)1/3 (31)

En unidades SI:

Qs = [k1/(9.81 × 0.041692)] γ Qw So (R/ds)1/3 (32)

Qs = 58.7 k1 γ Qw So (R/ds)1/3 (33)

En unidades U.S.:

Qs = [k1/(14.568 × 0.03422)] γ Qw So (R/ds)1/3 (34)

Qs = 58.7 k1 γ Qw So (R/ds)1/3 (35)

La ecuación de transporte de sedimentos es adimensional; por lo tanto, es independiente del sistema de unidades.

El parámetro de transporte de sedimentos k1 es el único a ser determinado experimentalmente. La experiencia demuestra que este parámetro varía típicamente en el rango 0.005 ≤ k1 ≤ 0.02.



APLICACIONES

Asúmanse dos casos, uno antes y otro después del desarrollo, con subíndices 1 and 2, respectivamente. Además, se definen:

a = Qs2/Qs1 (41)

b = ds2/ds1 (42)

c = R2/R1 (43)

d = Qw2/Qw1 (44)

e = So2/So1 (45)

Usando la relación de Lane modificada (Ecuación 30):

a (b/c)1/3 = d e (46)

Por lo tanto, la relación de pendientes es:

e = (a/d) (b/c)1/3 (47)

Ejemplo No. 1

Un tramo de río aguas abajo de una bocatoma con desarenador, con a = 0.99, b = 1, c = 0.95, y d = 0.9, resultará en e = 1.12 (agradación).

Ejemplo No. 2

Un tramo de río aguas abajo de una represa de retención de sedimentos, con a = 0.3, b = 1, c = 0.95, y d = 0.9, resultará en e = 0.34 (degradación).

En la práctica, esta última puede ser limitada por controles geológicos (acorazamiento, o degradación hasta encontrar el basamento rocoso) (Fig. 1).



BIBLIOGRAFÍA

Chow, V. T. (1959). Open-channel hydraulics. Mc-Graw-Hill, New York.

Colby, B. R. (1964). Discharge of sands and mean velocity relations in sand-bed streams. U.S. Geological Survey Professional Paper No. 462-A, Washington, D.C.

Lane, E. W. (1955). The importance of fluvial morphology in hydraulic engineering. Proceedings, American Society of Civil Engineers, No. 745, Julio.

Ponce, V. M., y D. B. Simons. (1977). Shallow wave propagation in open channel flow. American Society of Civil Engineers Journal of the Hydraulics Division, Vol. 103, No. HY12, Diciembre.

Ponce, V. M. (1988). Ultimate sediment concentration. Proceedings, National Conference on Hydraulic Engineering, Colorado Springs, Colorado, August 8-12, 1988, 311-315.



SÍMBOLOS

a, b, c, d, e = razón de variables hidráulicas después y antes del desarrollo;

C = coeficiente de rugosidad de Chezy;

Cs = concentración de sedimentos;

d = tirante o profundidad de agua;

D = tirante hidráulico;

ds = tamaño de la partícula;

d50 = tamaño medio de la partícula;

f = coeficiente de fricción igual a 1/8 del coeficiente de Darcy-Weisbach;

F = número de Froude;

g = aceleración de la gravedad;

k1 = parámetro adimensional de transporte de sedimentos;

k2 = parámetro de fricción;

k3 = coeficiente en la relación de Strickler;

n = coeficiente de rugosidad de Manning;

q = descarga líquida, por unidad de ancho;

qs = descarga sólida, por unidad de ancho;

Qw = descarga líquida;

Qs = descarga sólida;

R = radio medio hidráulico;

So = pendiente de fondo de la corriente;

v = velocidad media;

γ = peso unitario del agua;

ρ = densidad del agua; y

τo = esfuerzo cortante de fondo.


Fig. 2   Deposición de sedimentos en la cola del reservorio Tinajones, Lambayeque, Perú.


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